$$\begin{align} v &=\lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{x(t_0 +\Delta t)-x(t_0)}{\Delta t} =\frac{d x}{d t}\\ a &=\lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{v(t_0 +\Delta t)-v(t_0)}{\Delta t} =\frac{d v}{d t}\end{align}$$, $$\begin{align}v &=\dot x=\frac{dx}{dt} \\a &= \dot v=\frac{dv}{dt} =\ddot x = \frac{d^2 x}{dt^2}\end{align} $$, 1次元空間においては位置と時間の関係さえわかれば、速度・加速度を求めることができることがわかりました。, 2次元直交座標系では\(x\)軸と\(y\)軸が互いに直交して交わり、3次元直交座標系では\(x\)軸、\(y\)軸、\(z\)軸が互いに直交して交わります。, 点の位置は上記の点Pのように座標を用いて表してもよいが、位置ベクトルを用いて表すと便利なことも多いです。, 点Pの位置ベクトルとは、原点Oから点Pまでの移動を表すベクトル(下図青矢印)のことです。位置ベクトルは\(\boldsymbol r\)と表すことが多いです。, ベクトルと座標系を組みあわせて考えるために単位ベクトル\(\boldsymbol 別ページを参照してください。 速度分布式への応用. ニュートン力学においては運動をしていても変化しない量があり、保存則として「運動量保存則」 …, 前回までは位置・速度・加速度について学びました。 e_y+z\boldsymbol e_z $$, これは単位ベクトル\(\boldsymbol e_x \)、\(\boldsymbol e_y \)、\(\boldsymbol e_z \)がそれぞれ\(x\)、\(y\)、\(z\)方向を表しており、その前についている\(x\)、\(y\)、\(z\)が大きさを表しており、各成分を足し合わせているイメージです。, また\(\boldsymbol r\)の大きさ\(|\boldsymbol r|\)は三平方の定理を用いて導くことができます。, 以前に1次元空間における速度・加速度については、時刻\(t\)における位置\(x(t)\)の時間微分が速度\(v(t)\)を表し、時刻\(t\)における速度\(v(t)\)の時間微分が加速度\(v(t)\)を表すことを説明しました。, 2次元・3次元空間においても考え方は変わらず、位置ベクトルを時間微分することで速度が求まり、求まった速度を時間微分することで加速度を求めることができます。, これを時間微分することによって速度\(\boldsymbol v= \frac{d\boldsymbol r}{dt} \)を求めることができます。, $$\frac{d\boldsymbol r}{dt} = \frac{dx}{dt}\boldsymbol e_x+\frac{dy}{dt}\boldsymbol e_y$$, さらに速度\(\boldsymbol v= \frac{d\boldsymbol r}{dt} \) を時間微分することによって加速度\(\boldsymbol a= \frac{d\boldsymbol v}{dt}=\frac{d^2\boldsymbol r}{dt^2} \)を求めることができます。, $$ \begin{align} \frac{d}{dt}(\frac{d\boldsymbol r}{dt})&=\frac{d}{dt}(\frac{dx}{dt}\boldsymbol e_x+\frac{dy}{dt}\boldsymbol e_y)\\\\ \frac{d^2\boldsymbol r}{dt^2}&= \frac{d^2x}{dt^2}\boldsymbol e_x+\frac{d^2y}{dt^2}\boldsymbol e_y \end{align} $$, $$\begin{align}位置 \boldsymbol r &= x\boldsymbol e_x+y\boldsymbol e_y \\ \\速度 \boldsymbol v &= \frac{d\boldsymbol r}{dt} = \frac{dx}{dt}\boldsymbol e_x+\frac{dy}{dt}\boldsymbol e_y\\ \\加速度 \boldsymbol a &= \frac{d^2\boldsymbol r}{dt^2}= \frac{d^2x}{dt^2}\boldsymbol e_x+\frac{d^2y}{dt^2}\boldsymbol e_y \end{align} $$, $$\boldsymbol r = x\boldsymbol e_x+y\boldsymbol e_y +z\boldsymbol e_z $$, $$\frac{d\boldsymbol r}{dt} = \frac{dx}{dt}\boldsymbol e_x+\frac{dy}{dt}\boldsymbol e_y +\frac{dz}{dt}\boldsymbol e_z $$, $$ \begin{align} \frac{d}{dt}(\frac{d\boldsymbol r}{dt})&=\frac{d}{dt}(\frac{dx}{dt}\boldsymbol e_x+\frac{dy}{dt}\boldsymbol e_y +\frac{dz}{dt}\boldsymbol e_z)\\\\ \frac{d^2\boldsymbol r}{dt^2}&= \frac{d^2x}{dt^2}\boldsymbol e_x+\frac{d^2y}{dt^2}\boldsymbol e_y+\frac{d^2z}{dt^2}\boldsymbol e_z \end{align} $$, $$\begin{align}位置 \boldsymbol r &= x\boldsymbol e_x+y\boldsymbol e_y +z\boldsymbol e_z \\ \\速度\boldsymbol v &= \frac{d\boldsymbol r}{dt} = \frac{dx}{dt}\boldsymbol e_x+\frac{dy}{dt}\boldsymbol e_y +\frac{dz}{dt}\boldsymbol e_z \\ \\ 加速度 \boldsymbol a &= \frac{d^2\boldsymbol r}{dt^2} = \frac{d^2x}{dt^2}\boldsymbol e_x+\frac{d^2y}{dt^2}\boldsymbol e_y+\frac{d^2z}{dt^2}\boldsymbol e_z \end{align} $$, 1元空間における位置・速度・加速度の関係とどうように、2次元・3次元空間においても位置・速度・加速度は時間微分を行うことで計算することができます。, 旧帝大を修士で卒業後、大手企業で研究職に従事。趣味は投資・読書・科学技術(特に半導体)・物理等々です! 2018年10月ごろから長期インデックス投資を始めました。, 旧帝大を修士で卒業後、大手企業で研究職に従事。